Đề thi thử số 2 năm 2014 của Toán học tuổi trẻ số 436

Câu 1. Cho hàm số $y=-x^3+3x^2-2$, $(C)$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Xác định $m$ để đường thẳng $\Delta: y=m(2-x)+2$ cắt đồ thị hàm số $(C)$ tại ba điểm phân biệt $A(2,2)$, $B$, $C$ sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ tại $B$ và $C$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. Giải phương trình:
$\cos 3x+\sin 2x-2\sin x-\cos x+1=0$.
Câu 3. Giải hê phương trình $\begin{cases}4x^3-3x+(y-1)\sqrt{2y+1}=0\\2x^2+x+\sqrt{-y(2y+1)}=0.\end{cases}$
Câu 4. Tính tích phân $\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log_2(3\sin x+\cos x)}{\sin^2x}dx$.
Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$, mặt phẳng $(ABM)$ vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$ và đường thẳng $AM$ vuông góc với đường thẳng $BD$. Tính thể tích khối chóp $S.BCM$ và khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Câu 6. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=(xy+yz+2zx)^2-\frac{8}{(x+y+z)^2-xy-yz-2},$$ trong đó $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$.
Câu 7a. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$ có $AB=AD<CD$, điểm $B(1,2)$, đường thẳng $BD$ có phương trình $y=2$. Biết đường thẳng $(d): 7x-y-25=0$ cắt các đoạn thẳng $AD, CD$ lần lượt tại hai điểm $M, N$ sao cho $BM$ vuông góc với $BC$ và tia $BN$ là tia phân giác của góc $MBC$. Tìm điểm $D$ có hoành độ dương.
Câu 8a. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(4,0,0)$ và $M(6,3,1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và $M$ sao cho $(P)$ cắt trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $B, C$ và thể tích tứ diện $OABC$ bằng 4.
Câu 9a. Giải phương trình $2\log(x^2-1)=\log(x+1)^4+\log(x-2)^2$.
Câu 7b. Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn nội tiếp tam giác đều $ABC$ có phương trình $(x-1)^2+(y-2)^2=5$ và đường thẳng $BC$ đí qua điểm $(\frac{7}{2},2)$. Xác định tọa độ điểm $A$.
Câu 8b. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1,1,-1)$, $B(1,1,2)$ và $C(-1,2,-1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y+2z+1=0$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đí qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt đường thẳng $BC$ tại $I$ sao cho $IB=2IC$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$.
Câu 9b. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1-3i)z$ là số thực và $|\bar{z}-2+5i|=1$.