CM Duong Tron Dong Qui - Mot luc giac

Giả sử kết luận bài toán đúng <=> A1,A2,B1,B2.C1,C2 thuộc đường tròn ( I )  (*)
  ( * ) => C1,C2,B1,B2 cũng thuộc đường trong ( I ). Ta có C1C2, B2B1 cắt nhau tại A. Qua C1, C2 ta vẽ đường tròn ( Oc ) và qua B2, B1 ta vẽ được  đường tròn ( Ob ) sao cho   2 đường tròn này cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Ao . Giả sử rằng PAo cắt B2B1 tại A', nối C2 và A' lại cắt ( Oc ) tại C1' => bốn điểm C2,C1',B2,B1  thuộc một đường tròn. Do qua 3 điểm C2, B2, B1 ta chỉ vẽ duy nhất 1 đường tròn thôi => C1,C1', C2, B2, B1  cùng thuộc đường tròn ( I )  mà C1, C1', C2 cũng thuộc ( Oc ) => C1' trùng C1 kéo theo A' trùng với A. Suy ra: P, Ao, A thẳng hàng. (1 )


  Qua 3 điểm A1,A2, P ta luôn vẽ được 1 đường tròn ( Ao ) cắt ít nhất 1 trong 2 đường tròn ( Oc ), ( Ob ) tại 2 điểm phân biệt. Giả sử cắt đường tròn ( Ob ) tại P và Co. Nối P và Co lại cắt BC tại C' , B2C'  cắt  ( Ob ) tại B1' => bốn điểm B2, B1', A1, A2  thuộc 1 đường tròn . Từ ( * ) => A1, A2, B2, B1 thuộc đường tròn ( I ) mà qua 3 điểm  A1, A2, B2  chỉ vẽ duy nhất 1 đường tròn => A1, A2, B2, B1, B1' thuộc ( I )  mà A1, A2, B1' lại thuộc ( Ob ) =>  B1' trùng B1 => kéo theo C' trùng C. => P, Co, C thẳng hàng ( 2 )


  Khi vẽ ( Oa) thì có 2 trường hợp:

          1. ( Oa ) cắt  ( Oc ) tại 2 điểm phân biệt P và Bo:  nối P và Bo lại cắ AB tại B', nối B1 và Bo lại cắ ( Oa ) tại A1' => bốn điểm C1, C2, A1', A2 thuộc 1 đường tròn. Từ ( * ) => C1, C2, A1, A2 thuộc  đường tròn  ( I ). Qua 3 điểm C1, C2, A2 chỉ vẽ được 1 đường tròn duy nhất thôi => C1, C2, A1, A1', A2 thuộc ( I ). Mà  A2, A1, A1' thuộc ( Ao )  => A1' trùng A1 => kéo theo B' trùng B => P, Bo, P thẳng hàng (3)

          2. ( Oa ) cắt ( Oc ) tại 1 điểm duy nhất P thôi tức là Bo trùng với P rồi đó  khi đó thì P, Bo, B thẳng hàng ( 3' ) 

 Từ (1), (2),(3),(3') => đpcm.( ba đường tròn Oc, Ob, Oa có 1 điểm chung P,  từng cặp ( P, Ao, A),( P, Co, C), (P, Bo, B) thẳng hàng )

 Chú ý:  Giải thích thêm cho bạn không được dùng trong bài CM:  Bo trùng P thì bài toán vẫn đúng đây là trường hợp giao mhau đăc biệt của (Oa) với (Oc) chỉ có 1 điểm P .  Nếu như không đồng ý với điểm P trên ta vẫn có thể chọn điểm P ở vị trí khác để ( Oc) cắt (Oa) tại 2 điểm phân biệt  ( trong mặt phẳng có vô số điểm )